Wie funktioniert ein Polarplanimeter?

Ungläubig sah ich einem Bekannten zu, der mir sein frisch erworbenes Planimeter vorführte: Er umfuhr damit ein Quadrat und konnte dann an einem kleinen Rädchen den Flächeninhalt ablesen. Eine Strecke wurde abgefahren? Eine Fläche wurde dabei gemessen? So etwas wollte ich auch haben und dann verstehen, wie es funktioniert. Nun gab mir ein alter Schulfreund ein Planimeter, das bei ihm schon lange nicht mehr benutzt worden ist. Ähnlich ging es wohl auch Paul Kunkel, dessen Idee und Zeichnungen ich für die folgende Erklärung benutze. Dabei versuche ich nacheinander die Fragen zu beantworten, die mich zu einem zufriedenstellenden Verständnis des Messvorganges geführt haben.

1. Wozu werden Planimeter gebraucht?

Planimeter sind Messgeräte, mit denen man den Inhalt von Flächen in Landkarten und Zeichnungen bestimmen kann, indem man mit einem Fahrstift die gewünschte Fläche im Uhrzeigersinn umfährt und dann die Anzeige des Planimeters mit einem Tabellenwert multipliziert, der die Baumaße des Planimeters berücksichtigt.

Es gibt verschiedene Formen des Planimeters. Hier wird nur auf das Polarplanimeter eingegangen.

2. Wie ist das Gerät aufgebaut?

Das Polarplanimeter besteht aus zwei Stäben, die mit einem Gelenk miteinander verbunden sind. An einem Ende des Polarmes befindet sich der Pol. Er besteht aus einem schweren Zylinder, der entweder durch sein Eigengewicht auf dem Papier stehen bleibt oder mit einer kleinen Spitze, die aus seinem Boden herausschaut, auf dem Papier fixiert wird.

Den Polarm kann man frei um den Pol herum drehen. Er greift mit seinem Ende drehbar in den Fahrarm, an dessen anderem der Fahrstift montiert ist. Am Fahrarm ist in der Nähe des Gelenks ein Messrad angebracht, dessen Drehachse parallel zum Fahrarm liegt.

Bei der Bewegung des Fahrstiftes rutscht und rollt das Rad über das Papier, je nachdem in welche Richtung der Stift geführt wird. Das Rad dreht sich dabei nur mit der Bewegungskomponente senkrecht zu seiner Drehachse vor und zurück. Die Bewegungskomponente in Richtung der Achse des Rades wird nicht registriert. Den Weg m, den dieses Rad abrollt, zeigt ein Messwerk an. Der Umfang des Rades ist in 100 Schritte geteilt. Da die Ablesung an einem Nonius erfolgt, kann der Weg m des Rades auf ein Tausendstel des Radumfanges genau bestimmt werden. Über ein Schneckengetriebe werden an einem zweiten Rad bis zu 10 volle Umläufe des Messrades angezeigt. Der abgelesenen Zahlenwert muss nun noch mit einem Kalibrierfaktor k multipliziert werden, um den Inhalt der umfahrenen Fläche zu erhalten. Diesen Kalibrierfaktor k entnimmt man in Abhängigkeit von der eingestellten Länge des Fahrarmes der zum Planimeter gehörenden Tabelle mit den Kalibrierungsdaten. Er beinhaltet z.B. auch den Umfang des Messrades.

3. Weshalb ist der Weg des Messrädchens proportional zum Inhalt der umfahrenen Fläche?

Am Punkt A befindet sich der Pol, der immer fest steht. Wenn mit dem Fahrstift am Punkt C die zu vermessende Fläche im Uhrzeigersinn umfahren wird, bewegt sich der Punkt B immer auf der Kreisbahn um A. Das Messrad in der Nähe von B am Fahrarm BC dreht sich nicht, wenn der Fahrarm longitudinal verschoben wird. Es rutscht dann nur seitlich. Bei allen anderen Bewegungen dreht es sich und zwar proportional zum zurückgelegten Weg senkrecht zu seiner Drehachse. Es ist also zu klären, wie dieser Weg mit dem Inhalt der umfahrenen Fläche zusammenhängt.

3.1 Wir betrachten einfach einmal ein Linearplanimeter.

Zur weiteren Erklärung wird der Bewegungsablauf bei der Umfahrung eines Rechtecks so vereinfacht, dass einsichtig wird, dass der bei der Umfahrung gemessene Weg eine Maßzahl für den Fächeninhalt ist. Anschließend wird dann gezeigt, dass diese Vereinfachungen das Ergebnis nicht verfälschen.

Wir denken uns den Polarm des Planimeters sehr, sehr lang. Dann kann der Kreisbogen, den B um A beschreibt durch eine Gerade angenähert werden. Wenn man jetzt in Gedanken einmal die Rechteckfläche von P über Q, R und S wieder zu P umfährt, macht der Fahrarm bei den senkrechten Abschnitten PQ und RS Parallelverschiebungen. Bei QR und SP sind es Drehungen. So funktioniert übrigens ein Linearplanimeter.

Wir verfolgen nun die Bewegungen des Fahrarmes für die einzelnen Abschnitte:

Auf dem Weg von P nach Q überstreicht der Fahrarm ein Parallelogramm (gelb unterlegt). Dabei misst das Messrad nur den Weg senkrecht zu BC, also die Strecke m₁. Dies ist die Höhe des Parallelogramms. Die zugehörige Seite ist die Länge BC des Fahrarmes. Sie soll k heißen. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist dann A₁ = k m₁. Über die Maßeinheit wollen wir jetzt nicht nachdenken. Sie ist bestimmt etwas ungewöhnlich.

Bei der Verschiebung des Fahrstiftes von Q nach R führt der Fahrarm eine Drehung durch. Genau die gleiche Drehung, nur in der umgekehrten Richtung, erfährt der Fahrarm beim Weg von S nach P. Das, was das Messrad auf dem Weg von Q nach R registriert hat, also m₂, wird auf dem Weg von S nach P mit m₄ wieder rückgängig gemacht: m₂ = -m₄ Damit sind diese beiden Strecken für das Messergebnis ohne Bedeutung.

Auf dem Weg von R nach S steht der Fahrarm viel steiler als auf dem Weg von P nach Q. Damit ergibt sich eine kürzere Strecke für die Höhe des Parallelogramms. Außerdem ist die Höhe -m₃ von unten nach oben durchfahren worden und deshalb negativ. Für den Flächeninhalt des vom Fahrarm überstrichenen Parallelogramms (blau unterlegt) erhält man somit A₃ = - k m₃.

Wenn wir wieder bei P angekommen sind, zeigt das Planimeter den Weg m an, der sich aus allen vier Wegabschnitten zusammensetzt:

m = m₁ + m₂ + m₃ + m₄

Dabei heben sich der zweite und der vierte Abschnitt gerade gegenseitig auf:

m = m₁ + (-m₄) + m₃ + m₄

m = m₁ + m₃

Die Anzeige enthält nur die Anteile des ersten und dritten Abschnitts.

Den Inhalt A der umfahrenen Fläche erhält man nun als das Produkt des Fahrweges mit der Länge des Fahrarmes.

A = k m
A = k (m₁ + m₃)
A = k m₁ + k m₃
A = k m₁ - (- k m₃)
A = A₁ - A₃

Und das haben wir ja sowieso schon gesehen: Den Inhalt der umfahrenen Fläche kann man berechnen, indem man vom Flächeninhalt A₁ des ersten Parallelogramms den Betrag des Flächeninhalts A₃ des zweiten einfach abzieht.

A = [ gelbes Parallelogramm ] - [ blaues Parallelogramm ]

Wir wollen dies noch einmal verdeutlichen, indem wir die Parallelogramme durch Scherung in flächengleiche Rechtecke umwandeln.

Bei der Scherung wird der Flächeninhalt nicht verändert. Das kann man sich verdeutlichen, indem man einen Bücherstapel von der Seite betrachtet. Er erscheint als Rechteckfläche, die sich aus lauter rechteckigen Seitenansichten der Bücher zusammensetzt. Den Stapel kann man aber auch schief hinstellen, so dass er gerade nicht umfällt. Dann ist seine Seitenansicht ein Parallelogramm, dessen Seitenkanten etwas stufig sind. Bei ganz dünnen Büchern oder einzelnen Blättern würden diese Stufen nicht mehr auffallen. Die Flächeninhalte des Parallelogramms und der des Rechtecks bestehen aus den gleichen Teilflächen, sind also flächengleich.

So wird noch deutlicher, dass der gesuchte Flächeninhalt die Differenz der Inhalte der beiden Parallelogrammflächen ist.

Außerdem erkennen wir nun, warum man die Fläche im Uhrzeigersinn umfahren soll. Wenn man nämlich andersherum fährt, dann zieht man ja vom Inhalt der blauen Fläche den Inhalt der gelben Fläche ab und erhält natürlich eine negative Weganzeige auf dem Planimeter, den dies aber nicht anzeigen kann, weil es wie ein Kilometerzähler nur vorwärts misst.

3.2 Und was ist, wenn es kein Rechteck ist?

Wir füllen in den Gedanken eine krummlinig begrenzte Fläche einfach mit lauter Rechtecken aus. Das kann man beliebig genau machen. Am Rand entstehen dann viele sehr kleine Rechtecke. Für jedes Rechteck könnten wir jetzt eine Inhaltsbestimmung nach dem oben beschriebenen Verfahren machen. Die könnten wir alle nacheinander erst einmal abfahren und dann durch die Multiplikation mit k den Flächeninhalt bestimmen. Dabei würde man aber die Ränder der innen liegenden Rechtecke immer doppelt abfahren und zwar in entgegengesetzten Richtungen. Wir wissen, dass sich solche Fahrstrecken in der Anzeige immer gegenseitig aufheben. Deshalb können wir uns diese Wege gleich sparen und nur einmal die Außenlinie abfahren.

Um den Flächeninhalt zu bestimmen muss man also nur die Außenlinie abfahren.

3.3 Und wie ist das nun beim Polarplanimeter?

Beim Polarplanimeter werden vom Fahrarm keine Parallelogramme überstrichen. Während der Fahrstift von C nach C' geführt wird, bewegt sich der Punkt B auf einer Kreisbahn nach B'. Dabei überstreicht der Fahrarm die Fläche dw.

Man kann ja einmal eine sehr kleine Fläche dw betrachten, die sich dann beliebig genau durch ein Parallelogramm mit der Höhe dm und ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Winkel dQ annähern lässt, wobei dQ die Drehung des Fahrarms angibt.

Auch bei der Drehung wird das Messrad einen kleinen Weg m zurücklegen. Wenn man aber die auszumessende Fläche vollständig umfahren hat, ist man ja wieder da angekommen, wo man begonnen hat. Alle Drehungen nach oben sind durch Drehungen nach unten wieder ausgeglichen worden. Dann ist die Summe aller Wege, die durch Drehungen verursacht worden sind, gerade wieder null. Diese Drehungen sind also bedeutungslos.

3.4 Endlich ein Ergebnis

Im Prinzip setzt sich auch beim Polarplanimeter der Inhalt der gesuchten Fläche wie beim Linearplanimeter nur aus lauter kleinen Parallelogrammflächen zusammen, die unter Beachtung ihrer Vorzeichen zusammengezählt werden müssen. Beim Umfahren der gesuchten Fläche zählt das Planimeter die Höhen der Parallelogramme in den Einheiten des Messrades zusammen, so dass diese zum Schluss nur noch mit der Länge der Fahrarmes multipliziert werden müssen.

A = k m

Da das Messrad beim Polarplanimter aber nie am Ende des Fahrarmes sitzt, ist als Wert für k nicht die Länge des Fahrarmes einzusetzen, sondern ein Wert, der die Lage des Messrades und andere durch die Bauform (Lage des Messrades, Durchmesser des Messrades usw.) bedingten Maße enthält. Dafür liegt dem Planimeter eine Kalibrierungstabelle bei.

4. Nun soll einmal praktisch gemessen werden.

4.1 Wie stellt man das Planimeter für die Messung ein?

Meinem Polarplanimeter von Wichmann (ca. 1933), Modell 1192, Gerätenummer 13021, liegt eine Kalibrierungstabelle bei. Mit Tinte geschrieben enthält sie die Werte des Gerätes bei der Auslieferung und mit Bleistift kaum lesbar ergänzt, sind die Werte, die sich bei der Abnutzung irgendwann einmal eingestellt haben. Durch Abrieb wird z.B. der Durchmesser des Messrades kleiner, wodurch die Anzeige verfälscht wird.

Planimeter sind für die Messung von Flächeninhalten auf Landkarten ausgelegt. Deshalb sind folgende Informationen in der Tabelle enthalten:

1. Spalte: Verhältnisse: Maßstab der Landkarte, z.B. 1:1000 (Streckenverhältnis: Landkarte : Natur)

2. Spalte: Einstellung d. Nonius am Fahrarm: Die Länge des Fahrarmes kann verstellt werden, wodurch sich der Maßstab verändert. Die Skala ist in 0,5mm-Schritte eingeteilt, die mit einem Nonius abgelesen werden. Die Einstellung kann also auf 0,05mm genau erfolgen. Für einen Maßstab 1:1000 wird der Fahrarm auf 330,3 eingestellt.

3. Spalte: Werte der Nonius-Einheit: Auch bei der Ablesung der Fahrstrecke m des Messrades wird ein Nonius verwendet. Der Umfang des Rades ist in 100 Schritte (Messradeinheiten ME) geteilt und kann mit dem Nonius auf 1/1000 des Radumfanges abgelesen werden. Wenn der Fahrarm auf 330,3 eingestellt ist, entspricht eine Noniuseinheit gerade 10mm² umfahrener Fläche. Der Maßstab 1 : 1000 ist der Streckenmaßstab. Für die Fläche ist der Maßstab dann das Quadrat davon, also 1 : 1000000. Die 10mm² auf der Karte entsprechen damit 1000000 mal 10mm² in der Natur und das sind dann 10m².

4. Spalte: Konstante: Wenn der Pol innerhalb der auszumessenden Fläche liegt und der Fahrstift auf einem vollen Kreis um den Pol so herumgeführt wird, dass die Rolle nur gleitet (Gleitkreis oder Grundkreis), dann wird zwar eine Fläche umfahren, aber keine Fahrstrecke angezeigt. Die Konstante gibt an, wie groß die Fahrstrecke m des Messrades für den Flächeninhalt des Gleitkreises ist.

Interessant sind die Angaben in der 3. Spalte. Sie werden für die Bestimmung des Inhalts der umfahrenen Fläche benötigt.

In der ersten Zeile bei f = 330,3 steht, dass eine Noniuseinheit einer Fläche von 10mm² entspricht. 10 Noniuseinheiten sind eine Messradeinheit ME. Sie entspricht dann 10 · 10mm² = 100mm² = 1cm². Der Umrechnungsfaktor ist also k = A / m = 1 cm²/ME. In der Tabelle ist dies mit 1 : 1 gekennzeichnet.

Der zweiten Zeile der Tabelle kann man entnehmen, dass bei einer Einstellung des Fahrarmes auf f = 293,4 eine Noniuseinheit am Messrad einer Fläche von (8+8/9)mm² = ~8,8888mm² entspricht. Wir betrachten wieder das Zehnfache, also bedeutet 1 ME gerade ~88,888mm² = ~0,88888cm² = 8/9cm². Der Umrechnungsfaktor ist damit k = ~0,88888cm²/ME bzw. 1/k = 1,125 ME/cm².

In der dritten Zeile bei f = 263,8 entspricht 1 ME gerade 0,8cm², d.h. k = 0,8cm²/ME usw.

Fahrarm- einstellung f	Umrechnungsfaktor
	k = A / m in cm²/ME	1 / k = m / A in ME/cm²
330,3	1	1
294,4	8/9 = ~0,88888	1,125
263,8	0,8	1,25
210,6	0,64	1,5625
206,4	0,625	1,6
164,0	0,5	2
145,6	4/9 = ~0,44444	2,25
130,7	0,4	2,5

Je kürzer der Fahrarm ist, desto kleiner ist die Fläche, die umfahren werden muss, damit das Messrad um 1 ME weiter dreht., d.h. mit kleiner Fahrarmlänge wird das Planimeter immer empfindlicher. Wenn das erst einmal klar ist, dann ist die nebenstehende Tabelle für die praktische Anwendung übersichtlicher als die originale Tabelle im Planimeterkasten. Zwischen den Werten für f und k ergibt sich fast eine Proportionalität. Gegen Ende der Tabelle sinken die Quotienten etwa 1%. Man kann also interpolieren, wenn Zwischenwerte benötigt werden sollten.

Beispiel:
Der Fahrarm sei auf f = 164,0 eingestellt. Das Messrad zeige nach der vollständigen Umfahrung einer Fläche im Uhrzeigersinn den Wert 10 ME an. Dann beträgt der Flächeninhalt A = k m = 0,5 cm²/ME · 10 ME = 5 cm².

4.2 Stimmt die Kalibrierung?

Dem Planimeter liegt ein Kontroll-Lineal bei, mit dem die Kalibrierung überprüft und ggf. korrigiert werden kann. Es hat am Anfang eine Nadel, die in das Papier gedrückt wird, und im Abstand von 2cm, 4cm und 6cm Löcher, in die der Fahrstift des Planimeters gesetzt werden kann. Man markiert eine Startlinie und schlägt mit dem in das Kontroll-Lineal eingesetzten Fahrstift einen vollständigen Kreis. Durch Vergleich des mit dem Planimeter gemessenen Flächeninhaltes mit dem aus dem Radius berechneten Kreisinhalt kann der Fehler der Anzeige ermittelt werden. Ist der Messwert z.B. um p% größer als der berechnete Wert, dann muss zur Korrektur der Fahrarm um p% verkürzt werden.

Beispiel:
Der Fahrarm ist auf f = 164,0 eingestellt. Es wird mit dem Kontroll-Lineal ein Kreis mit dem Radius 4cm abgefahren. Das Planimeter zeigt bei 3 nacheinander ausgeführten Messungen immer den Werte 100,5 ME an.

Der Flächeninhalt des Kreises wird berechnet mit A = ¶ · r² = ¶ · 2² cm² = 50,265cm².
Der gemessene Flächeninhalt ist bei der Anzeige 100.5 ME dann A = 0,5cm²/ME · 100,5 ME = 50,25cm².

Eine Korrektur ist demnach nicht erforderlich.

4.3 Wie groß ist der Tegeler See?

Die Wanderkarte des Bezirkes Reinickendorf hat den Maßstab 1:20000. Der Fahrarm des Planimeters wird auf f = 330,3 eingestellt, also k = 1cm²/ME, weil sonst die Fläche nicht umfahren werden kann. Die vollständige Umfahrung des Tegeler Sees ergibt am Messrad eine Anzeige von m = 109,3 ME. Die Fläche des Sees auf der Karte ist dann A = k · m = 1 cm²/ME · 109,3 ME = 109,3 cm². Der Flächenmaßstab ist nun das Quadrat des Streckenmaßstabes, also 1 : 400000000. Der Tegeler See ist dann in der Natur 400000000 · 109,3 cm² = 43720000000cm² groß. Ein m² hat 10000cm². Der See ist dann 4372000 m² groß. 1km² hat 1000000m². Also ist der Tegeler See mit all seinen Inseln 4,372km² groß.

Ich hätte auch recht einfach den Inhalt der reinen Wasserfläche bestimmen und die Inseln mit dem Planimeter gleich heraus rechnen können. Dazu wäre es nur notwendig gewesen nach der Umfahrung des Ufers im Uhrzeigersinn die Inseln in der entgegengesetzten Richtung zu umfahren. Die Anzeige wäre dann proportional zur Größe der reinen Wasserfläche.

Mir ist nun klar geworden, wie ein Planimeter dazu in der Lage ist, den Inhalt einer Fläche zu bestimmen, indem einfach nur der Umfang der Fläche abgefahren wird. Was auf den ersten Blick schon fast als Zauberei anmutete, lässt sich doch mit etwas Rechnerei und recht einfachen geometrischen Zusammenhängen anschaulich erklären. Natürlich gibt es noch weitere Eigenschaften des Polarplanimeters zu ergründen. Aber das reicht mir erst einmal für den Anfang.

Links zum Thema "Planimeter"

1. Prof. Fischers Seite über Planimeter (Universität Würzburg): http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/ausstell/planimet/

2. Paul Kunkel macht den Messvorgang plausibel (englisch): http://whistleralley.com/planimeter/planimeter.htm